Equazioni e disequazioni esponenziali: cosa sono e come risolverle

Affrontiamo due degli argomenti più comuni del Test di Medicina: equazioni esponenziali e disequazioni esponenziali.
Ti anticipiamo che, per risolverle, dovrai possedere un’ottima conoscenza delle potenze e dei logaritmi.

Equazioni esponenziali

Le equazioni esponenziali sono equazioni in cui la x (l’incognita) compare all’esponente della potenza. Per risolverle, si possono percorrere strade diverse. Quella più semplice consiste nel trasformare il primo e il secondo membro dell’equazione in potenze con la stessa base, in modo da poter eguagliare gli argomenti.

Quando questo non è possibile, si cerca di trasformare l’equazione esponenziale in equazione logaritmica, in modo da poter operare un cambiamento di base. Vediamo qualche esempio.

ESEMPIO 1.

2^{x2 – 5x + 6} = 1

Qui, applicando la regola delle potenze a esponente zero (ogni numero elevato a 0 è uguale a 1), possiamo trasformare la seconda base in 2 0. I due membri dell’equazione saranno quindi potenze con la stessa base:

2^{x2 – 5x + 6} = 2⁰

Uguagliando gli esponenti, avremo:

x2 – 5x + 6 = 0

Applichiamo la formula risolutiva:

Soluzione

Otteniamo due soluzioni:

• x = 2
• x = 3

ESEMPIO 2.

2 ^x = 10

Quando abbiamo un’equazione di questo genere, in cui non è possibile avere le stesse basi, applicheremo ad entrambe le parti dell’uguale l’operazione di logaritmo per poter abbassare l’esponente.

log 2 ^x = log 10

Ora applichiamo la regola delle potenze:

x log 2 = log 10

Soluzione

adesso è sufficiente ricavare la x:

Disequazioni esponenziali

Le disequazioni esponenziali sono disequazioni in cui l’incognita compare come esponente di una base numerica purché strettamente positiva e diversa da 1. Come per le equazioni esponenziali, il metodo più semplice per risolverle è cercare di trasformare il primo e il secondo membro in potenze con la stessa base. Anche qui, quando ciò non è possibile, si cerca di trasformare l’equazione esponenziale in equazione logaritmica.

Affrontiamo uno dei quesiti del Test di Medicina 2021 che riguardava proprio una disequazione esponenziale.

Esempio

Qual è l’insieme delle soluzioni della disequazione

3e^x – 5^e-x – 2 > 0 ?

1. x∈R tale che x>ln(5/3)
2. x∈R tale che x<-1 e x>5/3
3. x∈R tale che -1≤ln(5>
4. ogni x reale
5. nessun valore di x reale

Moltiplichiamo entrambi i lati della disequazione per e x . In questo modo, otteniamo:

3e^2x – 2e^x – 5 > 0

Ora effettuiamo la sostituzione t = e^x per ottenere:

3t² – 2t – 5 > 0

Che ha per soluzione:

t < −1 ∨ t > 5/3

Ora possiamo sostituire nuovamente t = e x e considerare le soluzioni delle due disequazioni:

• e^x < −1
• e^x > 5/3

La prima disequazione così ottenuta non ha soluzione, poiché e x è maggiore di zero per qualsiasi valore di x.
La seconda disequazione può essere risolta applicando il logaritmo naturale a entrambi i membri, quindi:

ln (e^x ) > ln(5/3) → x > ln (5/3)

La risposta corretta è dunque la 3

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