Vuoi studiare per diventare medico e ti stai preparando per il Test Medicina 2022? Saprai sicuramente che il test di ammissione contiene sempre alcune domande di logica e di matematica e, tra queste, potresti imbatterti nell’argomento funzioni matematiche. Vediamo insieme come affrontarlo.
Cosa sono le funzioni
Partiamo dalle basi. Cosa sono le funzioni?
Quello di funzione è un concetto fondamentale in matematica, poiché ci permette di svelare cosa lega due elementi diversi. Fondamentalmente, la funzione non è che il collegamento esistente fra due variabili.
Per spiegare meglio il concetto di funzione, utilizzeremo la definizione di Dirichlet:
Si definisce funzione y della variabile x un legame fra due variabili, una detta variabile indipendente x e l’altra detta variabile dipendente y, tali che abbiano senso le operazioni da effettuare sulla x per ottenere i valori della y e per ogni valore della x corrisponda un solo valore della yy=f(x)
Le funzioni si distinguono in due macrogruppi:
- funzioni empiriche (tutte quelle che possiamo desumere dalla natura, come il legame tra l’altezza del sole e la temperatura percepita);
- funzioni matematiche che sono quelle su cui ci soffermeremo in questo articolo.
Esempi di funzioni matematiche
Nelle funzioni matematiche, le operazioni che permettono di passare dal valore della x al valore della y sono sempre di tipo matematico, per esempio:
y=x3-x2-5x-3
Questo è un esempio di funzione algebrica.
y=senx+cosx
In questo caso, invece, si parla di funzione trascendente.
Dominio e codominio
Quando si parla di funzioni, è inoltre fondamentale saperne riconoscere il dominio.
Il dominio (o campo di esistenza) e il condominio di una funzione sono gli insiemi su cui è definita la funzione la quale associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio.
Come si calcola il dominio di una funzione?
Per calcolare correttamente il dominio di una funzione è necessario innanzitutto riconoscere il tipo di funzione che si ha davanti, ad esempio:
- razionale intera
- fratta
- irrazionale
- razionale
- esponenziale
- logaritmica
- trigonometrica
Nel caso delle funzioni razionali intere, per esempio, il dominio è “per ogni x appartenente a R” poiché il grafico della funzione non avrà alcuna discontinuità; nel caso delle funzioni fratte, invece, dovremo escludere tutti i valori che annullano il denominatore, quindi il nostro campo d’esistenza sarà “denominatore diverso da zero”.
Le Funzioni composte
Consideriamo le funzioni
g : A -> B
f : B -> C
chiameremo funzione composta l’applicazione da A a C
fog : A -> C
tale che
fog(x)= f(g(x))
Significa che al posto della x nella prima funzione metteremo l’espressione della seconda funzione.
Esempio:
f(x) = 2×2 + 3
g(x) = sen x
al posto di x in f(x) metto sen x
fog(x)= 2(sen x)2 + 3
fog(x)= 2sen2x + 3
Le funzioni inverse
Una funzione si dice inversa di un’altra se si può ottenere la seconda funzione scambiando fra loro la x e la y e ricavando poi la y nella prima funzione.
Esempio:
y = e x
per trovarne l’inversa, scambio y con x:
x = e y
poi devo ricavare la y; siccome è ad un esponente, applico il logaritmo naturale a destra ed a sinistra dell’uguale:
log x = log (e y)
logaritmo ed esponenziale si elidono:
log x = y
y = log x
Quindi la funzione inversa di y = e x è
y = log x
Esercizi sulle funzioni
Sei pronto per affrontare qualche esercizio? Svolgiamone insieme qualcuno.
Esercizio 1.
Calcola il campo di esistenza della funzione
y=log(x+4)
Soluzione:
Poiché il logaritmo è definito solo per valori positivi dell’argomento, il termine dentro parentesi dovrà necessariamente essere maggiore di zero.
(x+4)>0
segue
x>-4
Quindi, il campo di esistenza sarà
C.E.={xR | x>-4}
Esercizio 2.
Calcolare la funzione composta f(g(x)) date le funzioni f(x) e g(x)
f(x) = 2x +5 g(x) = 4x+1
Soluzione
Al posto della x nella prima funzione metto l’espressione di g(x) della seconda funzione:
f(g(x)) = 2(4x+1) + 5
eseguo i calcoli:
f(g(x)) = 8x + 2 + 5
ed ottengo la funzione composta:
y= 8x + 7
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