Logaritmi: cosa sono, esempi ed esercizi

Se vuoi superare i test di ammissione per medicina e diventare medico, devi sapere che ogni test contiene un certo numero di quesiti di matematica e di logica. Tra questi quesiti potresti trovare anche domande relative ai poligoni, alle funzioni o ai logaritmi. Ma cosa sono i logaritmi e come funzionano? Scopriamolo insieme.

Cos’è un logaritmo

Il logaritmo è un’operazione matematica che determina quante volte un certo numero, chiamato base, viene moltiplicato per sé stesso per raggiungere un altro numero. Puoi immaginarli come un modo diverso di pensare agli esponenti.

Storia dei logaritmi

I logaritmi furono inventati dal matematico scozzese John Napier nel 1614, che coniò il termine dalle parole greche lógos (calcolo, proporzione) e arithmós (numero). Prima dell’invenzione dei calcolatori meccanici (e successivamente dei moderni computer), i logaritmi erano molto utili nella semplificazione dei calcoli di astronomia, navigazione e ingegneria.

A cosa servono i logaritmi

Quando Napier inventò i logaritmi, i matematici contemporanei dissero che era stata loro regalata la metà della vita: infatti l’occupazione principale dei matematici dell’epoca (e soprattutto di quelli che si occupavano di astronomia ed astrologia che erano la maggior parte) era quella di calcolare la posizione dei pianeti, nel presente, nel passato e nel futuro e l’espressione calcoli astronomici non era certo un modo di dire.

Con i logaritmi è possibile trasformare ad esempio:

• prodotti in somme;
• quozienti in differenze;
• elevamenti a potenza in prodotti;
• calcoli di radici in quozienti.

Quindi tutte le operazioni matematiche vengono semplificate.

I nostri sensi sono logaritmici

Anche che i nostri stessi sensi sono logaritmici: quando ad esempio ascoltiamo un suono e ne sentiamo poi un altro che ci sembra di intensità doppia, in effetti misurandolo ha intensità quattro volte superiore. Lo stesso vale ad esempio se vediamo una luce e poi un’altra luce che ci sembra 3 volte più forte, e misurandola scopriamo che in realtà è 9 volte più forte.

In sintesi anche i nostri sensi funzionano in scala logaritmica, cosa che ci permette di poter avere uno spettro di sensazioni molto più ampio di quello che avremmo se i nostri sensi fossero lineari.

I logaritmi nella vita quotidiana

Utilizziamo i logaritmi anche nella vita di tutti i giorni: un esempio? Quando il gommista misura la pressione di una gomma sul suo strumento, la scala che utilizza non è lineare ma logaritmica.

Capiamo i logaritmi: qualche esempio

Adesso entriamo più nel dettaglio per capire esattamente cosa sono i logaritmi e come funzionano. Utilizzeremo degli esempi molto semplici e degli esercizi che ti faranno capire in pochi passi come utilizzare i logaritmi. Sei pronto?

Consideriamo l’uguaglianza

2³ = 8

In essa ci son tre quantità, ovvero

• 2
• 3
• 8

Se non conosco 8

allora l’uguaglianza diventa

2³ = x

e questa è l’operazione di elevamento a potenza.

Se non conosco 2

allora l’uguaglianza diventa

x³ = 8

Dunque devo trovare il numero che elevato alla terza vale 8, e questa è l’operazione di estrazione di radice che scriveremo in modo equivalente.

x = √8

Se non conosco 3

allora l’uguaglianza diventa

2^x = 8

cioè devo trovare l’esponente che messo al 2 mi dia 8, e questa è l’operazione di logaritmo che scriveremo in modo equivalente

x = log₂8

che si legge come: x è uguale al logaritmo in base 2 di 8.

Come già anticipato nell’introduzione quindi il logaritmo è un esponente.

Adesso proviamo a definire meglio il concetto di logaritmo e la sua definizione esatta.

Definizione di logaritmo

Consideriamo le due uguaglianze equivalenti

3 = log₂8 <=> 2³ = 8

Possiamo leggerle così: 3 è il logaritmo in base 2 di 8 perchè 2 elevato alla terza mi dà 8

se ora al posto di 2, 3 ed 8 mettiamo delle lettere a, c, b leggendo le eguaglianze otterremo la definizione di logaritmo

c = log_ab <=> a^c = b

c è il logaritmo in base a di b perché a elevato alla c mi dà b, o meglio:

si dice logaritmo del numero b in base a quel numero c che dato come esponente ad a dà come risultato b

Dato che a è la base di una potenza dovrà sempre essere positiva altrimenti, se fosse negativa il valore della potenza sarebbe positivo o negativo a seconda che l’esponente sia un numero pari o dispari; per evitare guai considereremo sempre la base positiva.

Esercizi sui Logaritmi

Metti alla prova quello che hai appena imparato e prova a risolvere questi esercizi. Trovi le soluzioni in fondo all’articolo.

Trova il valore dei seguenti logaritmi:

1. x = log₂16
2. x = log₁₀1000
3. x = log₃81
4. x = log₅125
5. x = log_a1
6. x = log_a0

Soluzioni

log₂16 = x

significa

2^x = 16

Dunque devo trovare quel numero che messo come esponente al 2 mi dia 16. Se non riesco a trovarlo mentalmente scompongo il numero 16

16 = 2⁴

L’esponente vale 4 quindi

log₂16 = 4

log₁₀1000 = x

significa

10^x = 1000

Dunque devo trovare quel numero che messo come esponente al 10 mi dia 1000. Se non riesco a trovarlo mentalmente scompongo il numero 1000

1000 = 2³·5³ = 10³

L’esponente vale 3 quindi

log₁₀1000 = 3

log₃81 = x

significa

3^x = 81

Dunque devo trovare quel numero che messo come esponente al 3 mi dia 81. Se non riesco a trovarlo mentalmente scompongo il numero 81

81 = 3⁴

L’esponente vale 4 quindi

log₃81 = 4

log₅125 = x

significa

5^x = 125

Dunque devo trovare quel numero che messo come esponente al 5 mi dia 125. Se non riesco a trovarlo mentalmente scompongo il numero 125

125 = 5³

L’esponente vale 3 quindi

log₅125 = 3

log_a1 = x

significa

a^x = 1

Dunque devo trovare quel numero che messo come esponente ad a mi dia come risultato 1. So che un numero elevato a potenza zero mi dà sempre 1
quindi

log_a1 = 0

N.B. Il logaritmo in qualunque base di 1 vale sempre zero. Ricorda però che la base deve sempre essere maggiore di zero e diversa da 1

log_a0 = x

significa

a^x = 0

Dunque devo trovare quel numero che messo come esponente ad a mi dia come risultato 0. Nessun numero elevato a potenza mi può dare come risultato zero, quindi

log_a0 = x

non ha significato.

N.B. Il logaritmo in qualunque base di 0 non si può fare. Se il numero è positivo anche se è molto vicino a zero il logaritmo è sempre possibile.

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